{ "timestamp": "2025-04-10_21-06-19", "user_id": "b07d07a3-eeed-4afe-ad50-cecf2520b282", "blocks_input": [ { "text": "Cours sur les Repères Cylindriques et Sphériques en Physique Introduction En physique, le choix du système de coordonnées est crucial pour simplifier les calculs et l'analyse des problèmes.\nLes coordonnées cartésiennes sont les plus couramment utilisées, mais dans certains cas, elles peuvent rendre les calculs excessivement complexes.\nPrenons l'exemple du pendule simple.\nSi nous essayons de décrire le mouvement du pendule en utilisant des coordonnées cartésiennes, nous devons suivre les variations des positions ( x ) et ( y ) de la masse en fonction du temps.\nCela nécessite de résoudre des équations différentielles couplées, ce qui peut devenir rapidement impraticable.\nEn revanche, en utilisant des coordonnées polaires (ou cylindriques dans un contexte 3D), nous pouvons décrire le mouvement du pendule simplement par l'angle ( \\theta ) que fait la corde avec la verticale.\nCela simplifie grandement les équations du mouvement et permet une analyse plus directe du problème.\nC'est pourquoi, dans certains cas, les coordonnées cylindriques et sphériques sont plus appropriées pour décrire des systèmes ayant des symétries particulières.\nCoordonnées Cylindriques Définition Les coordonnées cylindriques sont un système de coordonnées en trois dimensions qui spécifie la position d'un point par : La distance radiale ( r ) à partir de l'axe ( z ).\nL'angle ( \\theta ) que fait le point avec l'axe ( x ) dans le plan ( xy ).\nLa hauteur ( z ) le long de l'axe ( z ).\nConversion vers les Coordonnées Cartésiennes Les relations entre les coordonnées cylindriques ( (r, \\theta, z) ) et les coordonnées cartésiennes ( (x, y, z) ) sont : [ x = r \\cos(\\theta) ] [ y = r \\sin(\\theta) ] [ z = z ] Applications Les coordonnées cylindriques sont particulièrement utiles pour les problèmes ayant une symétrie cylindrique, comme le calcul des champs électriques autour d'un fil conducteur infiniment long.\n• • • ", "images": [] }, { "text": "Coordonnées Sphériques Définition Les coordonnées sphériques sont un autre système de coordonnées en trois dimensions qui spécifie la position d'un point par : La distance radiale ( \\rho ) à partir de l'origine.\nL'angle polaire ( \\theta ) que fait le point avec l'axe ( z ).\nL'angle azimutal ( \\phi ) que fait la projection du point sur le plan ( xy ) avec l'axe ( x ).\nConversion vers les Coordonnées Cartésiennes Les relations entre les coordonnées sphériques ( (\\rho, \\theta, \\phi) ) et les coordonnées cartésiennes ( (x, y, z) ) sont : [ x = \\rho \\sin(\\theta) \\cos(\\phi) ] [ y = \\rho \\sin(\\theta) \\sin(\\phi) ] [ z = \\rho \\cos(\\theta) ] Applications Les coordonnées sphériques sont idéales pour les problèmes ayant une symétrie sphérique, comme le calcul des orbites planétaires ou l'analyse des champs électriques autour d'une charge ponctuelle.\nConclusion Le choix entre les coordonnées cylindriques et sphériques dépend de la symétrie du problème à résoudre.\nUne bonne compréhension de ces systèmes permet de simplifier les équations et d'obtenir des solutions plus élégantes et efficaces.\n• • • ", "images": [] } ], "extracted_structures": [ "#TX% Introduction En physique, le choix du système de coordonnées est crucial pour simplifier les calculs et l'analyse des problèmes. Les coordonnées cartésiennes sont les plus couramment utilisées, mais dans certains cas, elles peuvent rendre les calculs excessivement complexes. Prenons l'exemple du pendule simple. Si nous essayons de décrire le mouvement du pendule en utilisant des coordonnées cartésiennes, nous devons suivre les variations des positions ( x ) et ( y ) de la masse en fonction du temps. Cela nécessite de résoudre des équations différentielles couplées, ce qui peut devenir rapidement impraticable. En revanche, en utilisant des coordonnées polaires (ou cylindriques dans un contexte 3D), nous pouvons décrire le mouvement du pendule simplement par l'angle ( \\theta ) que fait la corde avec la verticale. Cela simplifie grandement les équations du mouvement et permet une analyse plus directe du problème. C'est pourquoi, dans certains cas, les coordonnées cylindriques et sphériques sont plus appropriées pour décrire des systèmes ayant des symétries particulières.\n\n#TX% Coordonnées Cylindriques Définition Les coordonnées cylindriques sont un système de coordonnées en trois dimensions qui spécifie la position d'un point par : La distance radiale ( r ) à partir de l'axe ( z ). L'angle ( \\theta ) que fait le point avec l'axe ( x ) dans le plan ( xy ). La hauteur ( z ) le long de l'axe ( z ).\n\n#TX% Conversion vers les Coordonnées Cartésiennes Les relations entre les coordonnées cylindriques ( (r, \\theta, z) ) et les coordonnées cartésiennes ( (x, y, z) ) sont : [ x = r \\cos(\\theta) ] [ y = r \\sin(\\theta) ] [ z = z ]\n\n#TX% Applications Les coordonnées cylindriques sont particulièrement utiles pour les problèmes ayant une symétrie cylindrique, comme le calcul des champs électriques autour d'un fil conducteur infiniment long.\n\n#FL% Introduction En physique, le choix du système de coordonnées est crucial pour simplifier les calculs et l'analyse des problèmes. Les coordonnées cartésiennes sont les plus couramment utilisées, mais dans certains cas, elles peuvent rendre les calculs excessivement complexes. Prenons l'exemple du pendule simple. Si nous essayons de décrire le mouvement du pendule en utilisant des coordonnées cartésiennes, nous devons suivre les variations des positions ( x ) et ( y ) de la masse en fonction du temps. Cela nécessite de résoudre des équations différentielles couplées, ce qui peut devenir rapidement impraticable. En revanche, en utilisant des coordonnées polaires (ou cylindriques dans un contexte 3D), nous pouvons décrire le mouvement du pendule simplement par l'angle ( \\theta ) que fait la corde avec la verticale. Cela simplifie grandement les équations du mouvement et permet une analyse plus directe du problème. C'est pourquoi, dans certains cas, les coordonnées cylindriques et sphériques sont plus appropriées pour décrire des systèmes ayant des symétries particulières.\n\n#FL% Coordonnées Cylindriques Définition Les coordonnées cylindriques sont un système de coordonnées en trois dimensions qui spécifie la position d'un point par : La distance radiale ( r ) à partir de l'axe ( z ). 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Dans les coordonnées cylindriques, ces forces s'expriment comme suit :\n" }, { "insert": "Force de gravité : " }, { "insert": { "formula": "\\vec{F}_g = -mg \\hat{z}" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "list": "bullet" } }, { "insert": "\n" }, { "insert": "Force de tension : " }, { "insert": { "formula": "\\vec{F}_t = -mL \\ddot{r} \\hat{r} - mL \\dot{\\theta}^2 r \\hat{\\theta}" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "list": "bullet" } }, { "insert": "\n\noù " }, { "insert": { "formula": "m" } }, { "insert": " est la masse du pendule, " }, { "insert": { "formula": "g" } }, { "insert": " est l'accélération due à la gravité, " }, { "insert": { "formula": "L" } }, { "insert": " est la longueur du pendule, " }, { "insert": { "formula": "\\hat{r}" } }, { "insert": " et " }, { "insert": { "formula": "\\hat{\\theta}" } }, { "insert": " sont les vecteurs unitaires radiaux et azimutaux, respectivement" }, { "insert": ". Les équations de Lagrange s'écrivent alors :\n\n" }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": { "formula": "\n\\begin{cases}\nmL^2 \\ddot{\\theta} + mL^2 \\dot{\\theta}^2 \\sin{\\theta} \\cos{\\theta} = 0 \\\\\nmL \\ddot{r} + mL \\dot{\\theta}^2 r = -mg\n\\end{cases}\n" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": "\n\n3" }, { "insert": ". " }, { "insert": "Conservation de l'énergie", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " : Dans les coordonnées cylindriques, la loi de conservation de l'énergie pour un pendule simple peut être exprimée simplement en utilisant l'énergie potentielle et l'énergie cinétique" }, { "insert": ". L'énergie potentielle est donnée par " }, { "insert": { "formula": "U = mgh" } }, { "insert": " où " }, { "insert": { "formula": "h" } }, { "insert": " est la hauteur du pendule par rapport à sa position d'équilibre" }, { "insert": ". L'énergie cinétique est donnée par " }, { "insert": { "formula": "K = \\frac{1}{2}mv^2" } }, { "insert": " où " }, { "insert": { "formula": "v" } }, { "insert": " est la vitesse du pendule" }, { "insert": ". En utilisant les coordonnées cylindriques, on peut exprimer la vitesse du pendule comme " }, { "insert": { "formula": "v = \\sqrt{\\dot{r}^2 + (r \\dot{\\theta})^2}" } }, { "insert": ". Ainsi, la loi de conservation de l'énergie s'écrit :\n\n" }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": { "formula": "E = K + U = \\frac{1}{2}m(\\dot{r}^2 + (r \\dot{\\theta})^2) + mgh" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": "\n\n4" }, { "insert": ". " }, { "insert": "Mouvement dans un plan", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " : Pour décrire le mouvement d'un pendule simple dans un plan en utilisant les coordonnées cylindriques, on peut utiliser les coordonnées " }, { "insert": { "formula": "r" } }, { "insert": " et " }, { "insert": { "formula": "\\theta" } }, { "insert": " comme décrit précédemment" }, { "insert": ". Les équations qui régissent ce mouvement sont les équations de Lagrange données précédemment" }, { "insert": ". Cependant, dans ce cas, la coordonnée " }, { "insert": { "formula": "z" } }, { "insert": " n'est plus constante et peut varier en fonction du temps" }, { "insert": ". Ainsi, les équations de Lagrange s'écrivent :\n\n" }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": { "formula": "\n\\begin{cases}\nmL^2 \\ddot{\\theta} + mL^2 \\dot{\\theta}^2 \\sin{\\theta} \\cos{\\theta} = 0 \\\\\nmL \\ddot{r} + mL \\dot{\\theta}^2 r = -mg \\cos{\\theta} \\\\\nm \\ddot{z} = -mg \\sin{\\theta}\n\\end{cases}\n" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": "\n\noù la troisième équation décrit le mouvement vertical du pendule" }, { "insert": "." } ] }, "instructions": { "ops": [ { "insert": "Mise en situation", "attributes": { "bold": true } }, { "insert": "\n\nVous êtes un physicien chargé d'étudier le mouvement d'un pendule simple dans un laboratoire" }, { "insert": ". Vous avez décidé d'utiliser les coordonnées cylindriques pour faciliter vos calculs" }, { "insert": ".\n\n" }, { "insert": "Questions", "attributes": { "bold": true } }, { "insert": "\n\n1" }, { "insert": ". " }, { "insert": "Description du mouvement", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " : Dans les coordonnées cylindriques, comment décrit" }, { "insert": "-on le mouvement d'un pendule simple ? Quelles sont les coordonnées utilisées pour décrire la position du pendule ?\n2" }, { "insert": ". " }, { "insert": "Équations du mouvement", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " : Écrivez les équations du mouvement pour un pendule simple dans les coordonnées cylindriques" }, { "insert": ". Quelles sont les forces qui agissent sur le pendule et comment s'expriment" }, { "insert": "-elles dans ces coordonnées ?\n3" }, { "insert": ". " }, { "insert": "Conservation de l'énergie", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " : Dans les coordonnées cylindriques, peut" }, { "insert": "-on exprimer simplement la loi de conservation de l'énergie pour un pendule simple ? Si oui, comment ?\n4" }, { "insert": ". " }, { "insert": "Mouvement dans un plan", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " : Comment décrit" }, { "insert": "-on le mouvement d'un pendule simple dans un plan en utilisant les coordonnées cylindriques ? Quelles sont les équations qui régissent ce mouvement ?" } ] } } }, { "type": "text", "data": { "content": { "ops": [ { "insert": "Coordonnées Sphériques" } ] } } }, { "type": "text", "data": { "content": { "ops": [ { "insert": "Coordonnées Sphériques", "attributes": { "bold": true } }, { "insert": "\n\nLes coordonnées sphériques sont un système de coordonnées utilisé en physique pour décrire la position d'un point dans l'espace" }, { "insert": ". Contrairement aux coordonnées cartésiennes, qui utilisent des axes x, y et z, les coordonnées sphériques utilisent la distance radiale " }, { "insert": "(ρ" }, { "insert": "), l'angle polaire " }, { "insert": "(θ" }, { "insert": ") et l'angle azimutal " }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ")" }, { "insert": ".\n\nLa distance radiale " }, { "insert": "(ρ" }, { "insert": ") est la distance entre le point considéré et l'origine du système de coordonnées" }, { "insert": ". Elle est mesurée le long de la droite passant par l'origine et le point considéré" }, { "insert": ".\n\nL'angle polaire " }, { "insert": "(θ" }, { "insert": ") est l'angle formé par la droite passant par l'origine et le point considéré avec l'axe Oz" }, { "insert": ". Il est mesuré à partir de l'axe Oz et varie entre 0 et π" }, { "insert": ".\n\nL'angle azimutal " }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ") est l'angle formé par la projection du point considéré sur le plan xy avec l'axe Ox" }, { "insert": ". Il est mesuré à partir de l'axe Ox et varie entre 0 et 2π" }, { "insert": ".\n\nLes coordonnées sphériques sont souvent utilisées en physique pour décrire des phénomènes qui ont une symétrie sphérique, comme les ondes électromagnétiques ou les potentiels" } ] } } }, { "type": "flashcard", "data": { "question": { "ops": [ { "insert": "Qu'est" }, { "insert": "-ce que les coordonnées sphériques et quels sont les angles polaire et azimutal?" } ] }, "answer": { "ops": [ { "insert": "Les coordonnées sphériques sont un système de coordonnées utilisé pour spécifier la position d'un point dans l'espace en utilisant une distance radiale " }, { "insert": "(r" }, { "insert": ") et deux angles : l'angle polaire " }, { "insert": "(θ" }, { "insert": ") et l'angle azimutal " }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ")" }, { "insert": ". La distance radiale " }, { "insert": "(r" }, { "insert": ") est la distance du point à l'origine" }, { "insert": ". L'angle polaire " }, { "insert": "(θ" }, { "insert": ") est l'angle entre la ligne reliant le point à l'origine et l'axe z, mesuré à partir de l'axe z positif" }, { "insert": ". L'angle azimutal " }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ") est l'angle dans le plan xy, mesuré à partir de l'axe x positif" }, { "insert": "." } ] } } }, { "type": "text", "data": { "content": { "ops": [ { "insert": "Coordonnées Sphériques et Cartésiennes: Conversion et Relations", "attributes": { "bold": true } }, { "insert": "\n\nLes coordonnées sphériques sont utilisées pour décrire la position d'un point dans l'espace en utilisant trois variables: la distance au point d'origine " }, { "insert": "(r" }, { "insert": "), l'angle formé avec l'axe z " }, { "insert": "(θ" }, { "insert": "), et l'angle formé avec l'axe x dans le plan xy " }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ")" }, { "insert": ". Les coordonnées cartésiennes, quant à elles, utilisent trois variables: x, y, et z" }, { "insert": ".\n\nPour convertir des coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes, on utilise les relations suivantes:\n\n" }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": { "formula": "\n\\begin{align*}\nx &= r \\sin \\theta \\cos \\phi \\\\\ny &= r \\sin \\theta \\sin \\phi \\\\\nz &= r \\cos \\theta\n\\end{align*}\n" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": "\n\noù " }, { "insert": { "formula": "r" } }, { "insert": " est la distance au point d'origine, " }, { "insert": { "formula": "\\theta" } }, { "insert": " est l'angle formé avec l'axe z, et " }, { "insert": { "formula": "\\phi" } }, { "insert": " est l'angle formé avec l'axe x dans le plan xy" }, { "insert": ".\n\nInversement, pour convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques, on utilise les relations suivantes:\n\n" }, { "insert": { "formula": "" } }, { "insert": "\n" }, { "insert": "\\begin{align" }, { "insert": "*}\nr &= " }, { "insert": "\\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} " }, { "insert": "\\" }, { "insert": "\\\n" }, { "insert": "\\theta &= " }, { "insert": "\\cos^{" }, { "insert": "-1} " }, { "insert": "\\left" }, { "insert": "( " }, { "insert": "\\" } ] } } }, { "type": "flashcard", "data": { "question": { "ops": [ { "insert": "Quelles sont les formules pour convertir les coordonnées sphériques " }, { "insert": "(r, θ, φ" }, { "insert": ") en coordonnées cartésiennes " }, { "insert": "(x, y, z" }, { "insert": ") ?" } ] }, "answer": { "ops": [ { "insert": "Les formules pour convertir les coordonnées sphériques " }, { "insert": "(r, θ, φ" }, { "insert": ") en coordonnées cartésiennes " }, { "insert": "(x, y, z" }, { "insert": ") sont les suivantes : x = r " }, { "insert": " sin(θ) ", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " cos" }, { "insert": "(φ" }, { "insert": "), y = r " }, { "insert": " sin(θ) ", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " sin" }, { "insert": "(φ" }, { "insert": "), z = r " }, { "insert": "* cos" }, { "insert": "(θ" }, { "insert": ")" }, { "insert": "." } ] } } }, { "type": "text", "data": { "content": { "ops": [ { "insert": "Coordonnées Sphériques: Applications et Symétrie Sphérique", "attributes": { "bold": true } }, { "insert": "\n\nLes coordonnées sphériques sont un système de coordonnées couramment utilisé en physique pour décrire les positions dans l'espace" }, { "insert": ". Elles sont particulièrement utiles dans les situations où la symétrie sphérique est présente" }, { "insert": ".\n\nDans les coordonnées sphériques, chaque point est représenté par trois coordonnées: la distance radiale " }, { "insert": { "formula": "\\rho" } }, { "insert": " par rapport à l'origine, l'angle polaire " }, { "insert": { "formula": "\\theta" } }, { "insert": " par rapport à l'axe z, et l'angle azimutal " }, { "insert": { "formula": "\\phi" } }, { "insert": " par rapport au plan xy" }, { "insert": ". On peut exprimer les coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques comme suit:\n" }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": { "formula": "\n\\begin{cases}\nx = \\rho \\sin \\theta \\cos \\phi \\\\\ny = \\rho \\sin \\theta \\sin \\phi \\\\\nz = \\rho \\cos \\theta\n\\end{cases}\n" } }, { "insert": "\n", "attributes": { "align": "center" } }, { "insert": "\n\nLes coordonnées sphériques sont couramment utilisées dans les domaines de la physique où la symétrie sphérique est importante, comme en optique, en physique atomique et en physique des particules" }, { "insert": ". Par exemple, les orbites planétaires autour du Soleil ont une symétrie sphérique, et les coordonnées sphériques sont donc un choix naturel pour les décrire" }, { "insert": ".\n\n" } ] } } }, { "type": "flashcard", "data": { "question": { "ops": [ { "insert": "Quelles sont les applications des coordonnées sphériques en physique?" } ] }, "answer": { "ops": [ { "insert": "Les coordonnées sphériques sont utilisées pour décrire des systèmes avec une symétrie sphérique, comme les orbites planétaires, les champs électriques et les systèmes quantiques" }, { "insert": ". Elles simplifient les calculs en exploitant la symétrie radiale" }, { "insert": "." } ] } } }, { "type": "exercise", "data": { "visibleAnswer": { "ops": [ { "insert": "Réponses\n", "attributes": { "header": 1 } }, { "insert": "\n\n" }, { "insert": "1. Conversion de coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes\n", "attributes": { "header": 2 } }, { "insert": "\n\nPour convertir des coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes, nous utilisons les formules suivantes :\n\nx = r " }, { "insert": "\\" }, { "insert": " sin(θ) \\", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " cos" }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ")\ny = r " }, { "insert": "\\" }, { "insert": " sin(θ) \\", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " sin" }, { "insert": "(φ" }, { "insert": ")\nz = r " }, { "insert": "\\" }, { "insert": "* cos" }, { "insert": "(θ" }, { "insert": ")\n\noù r est la distance radiale, θ est l'angle de colatitude, et φ est l'angle de longitude" }, { "insert": ".\n\nEn utilisant les valeurs données " }, { "insert": "(θ = 30°, φ = 60°, r = 5" }, { "insert": "), nous obtenons :\n\nx = 5 " }, { "insert": "\\" }, { "insert": " sin(30°) \\", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " cos" }, { "insert": "(60°" }, { "insert": ") = 1" }, { "insert": ".25\ny = 5 " }, { "insert": "\\" }, { "insert": " sin(30°) \\", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " sin" }, { "insert": "(60°" }, { "insert": ") = 2" }, { "insert": ".5\nz = 5 " }, { "insert": "\\" }, { "insert": "* cos" }, { "insert": "(30°" }, { "insert": ") = 4" }, { "insert": ".33\n\nAinsi, les coordonnées cartésiennes correspondantes sont " }, { "insert": "(1" }, { "insert": ".25, 2" }, { "insert": ".5, 4" }, { "insert": ".33" }, { "insert": ")" }, { "insert": ".\n\n" }, { "insert": "2. Conversion de coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques\n", "attributes": { "header": 2 } }, { "insert": "\n\nPour convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques, nous utilisons les formules suivantes :\n\nr = √" }, { "insert": "(x² + y² + z²" }, { "insert": ")\nθ = cos⁻¹" }, { "insert": "(z " }, { "insert": "/ r" }, { "insert": ")\nφ = atan2" }, { "insert": "(y, x" }, { "insert": ")\n\nEn utilisant les valeurs données " }, { "insert": "(x = 3, y = 4, z = 1" }, { "insert": "), nous obtenons :\n\nr = √" }, { "insert": "(3² + 4² + 1²" }, { "insert": ") = 5\nθ = cos⁻¹" }, { "insert": "(1 " }, { "insert": "/ 5" }, { "insert": ") ≈ 78" }, { "insert": ".46°\nφ = atan2" }, { "insert": "(4, 3" }, { "insert": ") ≈ 53" }, { "insert": ".13°\n\nAinsi, les coordonnées sphériques correspondantes sont " }, { "insert": "(5, 78" }, { "insert": ".46°, 53" }, { "insert": ".13°" }, { "insert": ")" }, { "insert": ".\n\n" }, { "insert": "3. Calcul de distance\n", "attributes": { "header": 2 } }, { "insert": "\n\nPour calculer la distance entre l'origine " }, { "insert": "(0, 0, 0" }, { "insert": ") et un point en coordonnées sphériques, nous pouvons utiliser la formule de la distance euclidienne :\n\ndistance = √" }, { "insert": "[" }, { "insert": "(x2 " }, { "insert": "- x1" }, { "insert": ")² + " }, { "insert": "(y2 " }, { "insert": "- y1" }, { "insert": ")² + " }, { "insert": "(z2 " }, { "insert": "- z1" }, { "insert": ")²" }, { "insert": "]\n\noù " }, { "insert": "(x1, y1, z1" }, { "insert": ") et " }, { "insert": "(x2, y2, z2" }, { "insert": ") sont les coordonnées cartésiennes des deux points" }, { "insert": ".\n\nTout d'abord, nous devons convertir les coordonnées sphériques données " }, { "insert": "(θ = 45°, φ = 90°, r = 7" }, { "insert": ") en coordonnées cartésiennes" }, { "insert": ". En utilisant les formules de la section précédente, nous obtenons :\n\nx = 7 " }, { "insert": "\\" }, { "insert": " sin(45°) \\", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " cos" }, { "insert": "(90°" }, { "insert": ") = 0\ny = 7 " }, { "insert": "\\" }, { "insert": " sin(45°) \\", "attributes": { "italic": true } }, { "insert": " sin" }, { "insert": "(90°" }, { "insert": ") = 7√2 " }, { "insert": "/ 2 ≈ 4" }, { "insert": ".95\nz = 7 " }, { "insert": "\\" }, { "insert": "* cos" }, { "insert": "(45°" }, { "insert": ") = 7√2 " }, { "insert": "/ 2 ≈ 4" }, { "insert": ".95\n\nAinsi, les coordonnées cartésiennes correspondantes sont " }, { "insert": "(0, 4" }, { "insert": ".95, 4" }, { "insert": ".95" }, { "insert": ")" }, { "insert": ".\n\nEnsuite, nous pouvons calculer la distance entre l'origine " }, { "insert": "(0, 0, 0" }, { "insert": ") et ce point en utilisant la formule de la distance euclidienne :\n\ndistance = √" }, { "insert": "[" }, { "insert": "(0 " }, { "insert": "- 0" }, { "insert": ")² + " }, { "insert": "(4" }, { "insert": ".95 " }, { "insert": "- 0" }, { "insert": ")² + " }, { "insert": "(4" }, { "insert": ".95 " }, { "insert": "- 0" }, { "insert": ")²" }, { "insert": "] = √" }, { "insert": "(4" }, { "insert": ".95² + 4" }, { "insert": ".95²" }, { "insert": ") ≈ 7\n\nAinsi, la distance entre l'origine et le point donné en coordonnées sphériques est de 7 unités" }, { "insert": "." } ] }, "instructions": { "ops": [ { "insert": "Mise en situation\n", "attributes": { "header": 1 } }, { "insert": "\n\nVous êtes un physicien qui travaille sur un projet de recherche en astronomie" }, { "insert": ". 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